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Probabilités conditionnelles: Définition: Soit A et B deux événements avec P(A) ≠ 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'évé... Probabilités conditionnelles: Définition: Soit A et B deux événements avec P(A) ≠ 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note: $P_{A}(B)$ et elle est définie par: $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Propriété: La probabilité $P_{A}(B) $ vérifie: $0? P_{A}(B)? 1 $ et $P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1$ Si A et B deux événements de probabilité non nulle alors: $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=P(B)\times P_{B}(A) $ Exemple 1 avec un tableau à double entrée: Le tableau à double entrée ci-contre donne le nombre d'élèves d'une classe de seconde choisissant la spécialité mathématiques en première. Probabilités conditionnelles et indépendance. On choisit un élève au hasard. On note F l'événement «l'élève est une fille» et C l'événement «l'élève a choisit la spécialité mathématiques».
On appelle probabilité conditionnelle de $\boldsymbol{B}$ sachant $\boldsymbol{A}$ le nombre $$p_A(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$ Exemple: On tire une carte noire d'un jeu de $32$ cartes. On veut déterminer la probabilité que cette carte soit un roi. On considère alors les événements: $N$: "la carte tirée est noire"; $R$: "la carte tirée est un roi". On veut donc calculer $p_N(R) = \dfrac{p(N\cap R)}{p(N)}$ Or $p(N \cap R)=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}$ et $p(N)=\dfrac{1}{2}$ Donc $p_N(R)=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{16} \times 2 = \dfrac{1}{8}$. Les probabilités conditionnelles suivent les mêmes règles que les probabilités en général, c'est-à-dire: Propriété 4: $0 \pp p_A(B) \pp 1$ $p_A(\emptyset)=0$ $p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right)=p_A(A)=1$ Preuve Propriété 4 $p(A\cap B) \pg 0$ et $p(A)\pg 0$ donc $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \pg 0$. Probabilité conditionnelle et independence translation. De plus $A\cap B$ est inclus dans $A$. Par conséquent $p(A\cap B) \pp p(A)$ et $p_A(B) \pp 1$. $p(A\cap \emptyset)=0$ donc $p_A(\emptyset)=0$ D'une part $p_A(A)=\dfrac{p(A\cap A)}{p(A)} = \dfrac{p(A)}{p(A)} = 1$ D'autre part $\begin{align*}p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right) &= \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}+\dfrac{p\left(A\cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\ &= \dfrac{p(A\cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\ &= \dfrac{p(A)}{p(A)} \\ &=1 \end{align*}$ [collapse] Propriété 5: On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilités tous les deux non nulles.
Vous aurez une surprise… solution a. 45% des pièces sont en or donc 55% sont en argent. 56% des pièces proviennent du pays X donc 44% proviennent de Y. 23% des pièces sont en argent du pays Y, or 0, 55 – 0, 23 = 0, 32 donc 32% des pièces sont en argent du pays X. P (O ∩ X) = 0, 24. Probabilité conditionnelle et independence st. c. P X ( O) = P ( X ∩ O) P ( X) = 0, 24 0, 56 = 3 7. Comme P X (O) ≠ P (O), les événements O et X ne sont pas indépendants. Ici P ( X ∩ O) = 360 1500 = 0, 24, P ( O) P ( X) = 675 1500 = 500 1500 = 0, 24. Les deux événements sont ici indépendants!