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Accueil > Terminale ES et L spécialité > Equations > Résoudre une équation "produit nul" Méthode Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d'avoir lu: Résoudre une équation du 1er degré Résoudre une équation du 2nd degré Résoudre une équation simple avec l'exponentielle ou le logarithme Nous allons voir ici comment résoudre une équation produit nul. Une équation produit nul est une équation de type $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Par exemple l'équation $(3x-4)\times (1-e^x)=0$ est une équation produit nul. Résoudre une équation produit | équations | Produit de facteurs. Attention, il est parfois nécessaire de factoriser avant d'obtenir une telle équation. Nous verrons quelques exemples ci-après. Pour résoudre une équation produit nul, on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$. On résout ensuite chacune des équations $A=0$ et $B=0$ séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l'équation initiale. Remarques L'intérêt de cette méthode est qu'on transforme un problème $A\times B=0$ qui peut être compliqué en deux petits problèmes $A=0 \qquad ou \qquad B=0$ souvent beaucoup plus simple.
x^3=x^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3=x$ 8: Equation et égalité - Mathématiques - Seconde Montrer que pour tout $x$ réel, $(2x-3)(3x+9)=6x^2+9x-27$. En déduire les solutions de l'équation $6x^2+9x-27=0$. 9: 1) Invente une équation qui admette -4 comme solution 2) Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution 10: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables a^2-b^2 - seconde $\color{red}{\textbf{a. }} x^2=81$ $\color{red}{\textbf{b. }} y^2+81=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 4y^2=25$ 11: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables a^2-b^2 - mathématiques Seconde $\color{red}{\textbf{a. }} (x-1)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2-1=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2+1=0$ 12: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables et du facteur commun - $\color{red}{\textbf{a. Résoudre une équation produit nul en. }} 9-(x-4)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2=(4x-5)^2$ 13: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables - $\color{red}{\textbf{a. }} x^2=(4-3x)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} (3-x)^2=3-x$ 14: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables - $\color{red}{\textbf{a. }}
(2x+8)^2=0$ 8: Equation produit nul Invente une équation qui admette -4 comme solution. Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution. 9: Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation Résoudre l'équation: $(3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)$ 10: Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation Vers la seconde Résoudre l'équation: $\color{red}{\textbf{a. }} x^3=x$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3=x^2$ 11: Résoudre une équation à l'aide $\color{red}{\textbf{a. }} 7(x+8)-(x+8)(x-3)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (8-x)^2=(3x+5)(8-x)$ 12: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables $\color{red}{\textbf{a. }} (x-1)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2-1=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2+1=0$ 13: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables a²-b² Vers la seconde $\color{red}{\textbf{a. }} 9-(x-4)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. Résoudre une équation produit nul a la. }} (1-2x)^2=(4x-5)^2$
On décompose un problème en sous-problèmes. Attention, cette technique ne s'applique qu'aux produits nuls. $A\times B=1$ n'est pas équivalent à $A=1 \qquad ou \qquad B=1$. En résumé, on factorise si ce n'est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre). on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$ et on résout ces deux dernières équations séparément. Un exemple en vidéo D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile Résoudre les équations suivantes. $(E_1): \qquad (3x-2)(x+4)=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_2): \qquad (1-x)(2-e^x)=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_3): \qquad e^{2x-4}(0, 5x-7)=0$ sur $\mathbb{R}$. Résoudre une équation produit nul par. $(E_4): \qquad (x-2)\ln(x)=0$ pour $x\gt 0$. Voir la solution L'équation $(E_1)$ est bien une équation produit nul. $\begin{align} (3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4 \end{align}$ L'équation $(E_1)$ admet deux solutions: $\frac{2}{3}$ et $-4$.
Mais elle peut ne pas être vérifiée dans d'autres contextes. Par exemple le produit de deux nombres entiers non nuls modulo 6 peut être nul: 4 × 3 ≡ 0 mod 6; le produit de deux matrices non nulles peut être égal à la matrice nulle: Les anneaux sont des ensembles munis d'une addition et d'une multiplication vérifiant en particulier que si un au moins des facteurs d'un produit est nul, alors le produit est nul. Mais tous ne vérifient pas la réciproque, c'est le cas par exemple de l'anneau Z /6 Z des entiers pris modulo 6, ou de l' anneau des matrices à coefficients réels. Résoudre une équation produit nul - seconde. Les anneaux intègres (dont les corps) et les anneaux sans diviseur de zéro sont, par définition, des anneaux pour lesquels cette propriété est vérifiée. Notes et références [ modifier | modifier le code] Portail de l'algèbre
Règle du produit nul Fondamental: Règle du produit nul: Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Exemple: Résoudre l'équation \((x+5)(2-x)=0\). L'équation se présente sous la forme d'une équation-produit. Si on développe ce produit, on obtient une équation du second degré qu'on ne sait pas résoudre. On va donc garder la forme factorisée et utiliser la règle du produit nul. \((x+5)(2-x)=0\Longleftrightarrow x+5=0\ ou \ 2-x=0\) On ramène donc la résolution d'une équation du second degré à la résolution de deux équations du premier degré que l'on sait traiter. \(x+5=0\) permet d'écrire \(x=-5\) \(2-x=0\) permet d'écrire \(x=2\) L'équation \((x+5)(2-x)=0\) admet donc deux solutions: -5 et 2. On note l'ensemble des solutions est \(S=\{-5;2\}\). Attention: On ne confondra pas les crochets et les accolades dans la notation de l'ensemble des solutions. Résoudre une équation-produit - Troisième - YouTube. Les crochets désignent des intervalles (une infinité de nombres), alors que les accolades désignent un ensemble d'un ou plusieurs nombres solutions de l'équation.
Equations et inéquations Résoudre dans R \mathbb{R} les équations suivantes: ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 Correction ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0. Il s'agit d'une e ˊ quation produit nul. \text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul. }} 3 x + 4 = 0 3x+4=0 ou 5 x − 10 = 0 5x-10=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons 3 x + 4 = 0 3x+4=0 qui donne 3 x = − 4 3x=-4. D'où: x = − 4 3 x=-\frac{4}{3} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 5 x − 10 = 0 5x-10=0 qui donne 5 x = 10 5x=10. D'où: x = 10 5 = 2 x=\frac{10}{5}=2 Les solutions de l'équation sont alors: S = { − 4 3; 2} S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\} ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0 Correction ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0. }} x + 2 = 0 x+2=0 ou 4 x − 7 = 0 4x-7=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons x + 2 = 0 x+2=0 qui donne x = − 2 x=-2. D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 4 x − 7 = 0 4x-7=0 qui donne 4 x = 7 4x=7.