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Cours de fonction exponentielle avec des exemples ( exercices) corrigés pour le terminale.
La dérivée de la fonction exponentielle en premier lieux, car cette fonction a une condition particulière: c'est l'unique fonction qui reste égale à elle même, même en cas de dérivée. Dans un deuxième temps, nous verrons quelles sont les fameuses "relations fonctionnelles" de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle possède en effet cette propriété qu'elle peut transformer une somme en produit. Ainsi exp(a+b)=exp(a)*exp(b). Résolution d'équation avec la fonction exponentielle. Dans cette deuxième partie du cours de mathématiques à Toulouse, nous nous intéressons à la résolution d'équations avec la fonction exponentielle. ALGÈBRE – ANALYSE. Cette partie du cours est déterminante, non seulement en elle-même, mais aussi pour la suite du programme, aussi bien en première qu'en terminale. En effet, pour pouvoir étudier les variations de la fonction exponentielle, comme nous l'avons déjà vu dans les chapitres précédent, il faut étudier le signe de sa dérivée. Or, pour étudier le signe de la dérivée, il faut résoudre quand elle est égale à zéro.
C'est ce que nous faisons dans cette partie, quand bien même une grande partie des professeurs passent rapidement, voir ignorent cette exigence du programme certes nébuleuse. Problème Nous concluons cette feuille d'exercice avec l'habituelle sélection de problèmes. Exercice corrigé fonction exponentielle bac pro btp. Pour trouver des exercices ayant été donnés aux contrôles par des professeurs de Toulouse, rendez-vous sur notre page regroupant les contrôles. Besoin des contrôles dans un chapitre ou un lycée particulier?
Exemples: a=10 f(x)= 10 x base 10 a= 2 f(x)= 2 x base 2 a= e f(x)= e x base e Propriétés Soit ( a> 0 et a ≠1) pour tous réels x et y: a x > 0 a -x = a x a y = a x + y = a x-y ( a x) y = a xy a x b x = ( ab) x (∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ) a x = a y ⟺ x = y (∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ) a x ≤ a y ⟺ x ≤ y Exemple Résoudre l'équation suivante 2 x =16 2 x =16 ⟺ 2 x =2 4 donc x =4 Résoudre l'équation suivante 3 x =243 3 x =243 ⟺ 3 x = 3 5 donc x =5 2. Résoudre l'équation suivante 2 x +3 4 x +1 -320=0 2 x. 2 3 +4 x *4 1 -320=0 ⟺ 2 x. Fonction Exponentielle : Cours et Exercices corrigés. 2 3 +(2 x) 2. (2 2)-320=0 On pose: X=2 x l'équation s'écrit: 4X 2 +8X-320=0 ⟺ X 2 +2X-80=0 Après factorisation on obtient: (X+10)*(X-8)=0 X+10=0 ⟺ X= -10 2 x =-10 est rejeté puisque 2 x >0 X-8=0 ⟺ X= 8 X= 2 x =8 ⟺ x =3 est solution de l'équation
Donc si f est la fonction exponentielle de base exp alors f(x+y) = f(x) f(y), on dit que les fonctions exponentielles transforment une somme en un produit.
On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations suivant: Représentation graphique de la fonction_exponentielle: 4- Dérivée de la fonction exponentielle x ↦ exp(u(x)) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit f la fonction définie sur I par: Pour tout réel x de I, f(x) = exp(u(x)). La fonction f est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f′(x) = u′(x)exp (u(x)). Soit f la fonction définie sur R par: Pour tout réel x, f(x) = xexp(−x 2). Exercice corrigé fonction exponentielle bac pro searchproduct product configure. Déterminer la dérivée de f. Solution: Pour tout réel x, posons u(x) = −x 2 puis g(x) = exp(−x 2) = exp(u(x)). La fonction u est dérivable sur R. Donc, la fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x, g′(x) = u′(x)exp(u(x)) = −2xexp(−x 2). On en déduit que f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, f′(x) = 1 × exp(−x 2) + x × (−2xexp(−x 2)) = exp(−x 2) − 2x 2 exp(−x 2) = (1 − 2x 2)exp(−x 2) 5- Primitives de la fonction exponentielle 1- Les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(x) sont les fonctions de la forme x ↦ exp(x) + k où k est un réel.