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Point d'inflexion Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Un point d'inflexion est un point où la convexité de la fonction \(f\) change. La tangente à la courbe de \(f\) en un point d'inflexion traverse la courbe de \(f\). Si \(f\) présente un point d'inflexion à l'abscisse \(a\), alors \(f^{\prime\prime}(a)\). Réciproquement, si \(f^{\prime\prime}(a)=0\) et \(f^{\prime\prime}\) change de signe en \(a\), alors \(f\) présente un point d'inflexion en \(a\). Cela rappelle naturellement le cas des extremum locaux. Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\). Cependant, si \(f'(a)=0\), \(f\) admet un extremum local en \(a\) seulement si \(f'\) change de signe en \(a\). Inégalité de connexite.fr. Exemple: Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{x^3}{2}+1\). La fonction \(f\) est deux fois dérivable et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=3x\). Lorsque \(x<0\), \(f^{\prime\prime}(x)<0\), la fonction est concave, la courbe est sous ses tangentes. Lorsque \(x>0\), \(f^{\prime\prime}(x)>0\), la fonction est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.
Partie convexe d'un espace vectoriel réel $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb R$. Soit $u_1, \dots, u_n$ des vecteurs de $E$, et $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ des réels tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i\neq 0$. On appelle barycentre des vecteurs $u_1, \dots, u_n$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ le vecteur $v$ défini par $$v=\frac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i. $$ Dans le plan ou l'espace muni d'un repère de centre $O$, on identifie le point $M$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$. Focus sur les inégalités de convexité - Major-Prépa. On définit alors le barycentre $G$ des points $A_1, \dots, A_n$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ par le fait que le vecteur $\overrightarrow{OG}$ est le barycentre des vecteurs $\overrightarrow{OA_1}, \dots, \overrightarrow{OA_n}$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Ceci ne dépend pas du choix du repère initial. Proposition (associativité du barycentre): si $v$ est le barycentre de $(u_1, \lambda_1), \dots, (u_n, \lambda_n)$, et si $$\mu_1=\sum_{i=1}^p \lambda_i\neq 0\textrm{ et}\mu_2=\sum_{i=p+1}^n \lambda_i\neq 0, $$ alors $v$ est aussi le barycentre de $(v_1, \mu_1)$ et de $(v_2, \mu_2)$, où $v_1$ est le barycentre de $(u_1, \lambda_1), \dots, (u_p, \lambda_p)$ et $v_2$ est le barycentre de $(u_{p+1}, \lambda_{p+1}), \dots, (u_n, \lambda_n)$.
Pour déterminer p, on traduit le fait que le point B ( b, f ( b)) appartienne à la droite (AB): on a f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a b + p, d'où p = f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b. Ainsi, l'équation réduite de la tangente cherchée est: y = f ( b) − f ( a) b − a x + f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b, soit y = f ( b) − f ( a) b − a ( x − b) + f ( b). c) Déduire une inégalité traduisant la convexité Par hypothèse, f est convexe sur I, donc C est située au-dessous de ses sécantes ou cordes. La droite ( AB) est une sécante de C. Considérons les points N et P de même abscisse x 0 (compris entre les abscisses de A 0 et B 0), N étant un point de la droite ( AB) et P un point de la courbe C. Convexité - Mathoutils. La fonction f étant convexe sur I, P est donc au-dessous de N, ce qui se traduit par le fait que l'ordonnée de P soit inférieure à celle de N. P a pour coordonnées ( t a + ( 1 − t) b; f ( t a + ( 1 − t) b)) car P est un point de C. N a pour ordonnée y 0 telle que: y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( x 0 − b) + f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a ( t a + ( 1 − t) b − b) + f ( b), soit y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( t ( a − b)) + f ( b) = − t ( f ( b) − f ( a)) + f ( b) = t f ( a) + ( 1 − t) f ( b).
A l'aide de cette propriété, on démontre de nombreuses inégalités comme $$\forall x\in\left[0, \frac\pi2\right], \ \frac{2}{\pi}x\leq\sin(x)\leq x$$ $$\forall x\in\mathbb R, \ \exp(x)\geq 1+x$$ $$\forall x>-1, \ \ln(1+x)\leq x. $$