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Bien entendu, si P(0) n'existe pas, on prend P(1) et non P(0). Le raisonnement par récurrence par les exemples C'est bien connu, rien ne vaut des exemples pour comprendre la théorie… Le raisonnement par récurrence: propriété d'égalité Nous allons considérer la propriété suivante: P( n): \(1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2 + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Somme des n carrés des premiers entiers naturels. Nous allons la démontrer par récurrence. Initialisation La première étape est de constater que cette propriété est vraie pour le premier entier n possible. Ici, c'est n = 1. Quand il s'agit de démontrer une égalité, il faut calculer les deux membres séparément et constater qu'ils sont égaux. Pour n = 1: le membre de gauche est: 1² = 1; le membre de droite est: \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=\frac{1\times2\times3}{6}=1\). On constate alors que les deux membres sont égaux. Par conséquent, l'égalité est vraie pour n = 1. P(1) est donc vraie. On dit alors que l'initialisation est réalisée.
Introduction En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants: Une propriété est satisfaite par l'entier 0; Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article « Nombre... ) entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement... ) n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n +1. Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels. Présentation Le raisonnement par récurrence établit une propriété importante liée à la structure des entiers naturels: celle d'être construits à partir de 0 en itérant le passage au successeur. Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, il est directement formalisé par un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,... ).
A l'aide d'une calculatrice ou d'un algorithme, vérifiez si ces nombres sont premiers ou non. Que constatez-vous? En 1640, le mathématicien français Pierre de Fermat a émis la conjecture que « pour tout $n\in\N$, $F_n$ est un nombre premier ». Il s'avère que cette conjecture est fausse. Presque un siècle plus tard en 1732, le premier à lui porter la contradiction, est le mathématicien suisse Leonhard Euler en présentant un diviseur (donc deux diviseurs au moins) de $F_5$ prouvant qu'« il existe au moins un nombre de Fermat qui n'est pas premier ». Il affirme que $F_5$ est divisible par 641. Blaise Pascal, à 19 ans, en 1642 invente la première ( calculatrice) qu'il appelait la « Pascaline » ou « machine arithmétique ». [Musée Lecoq à Clermont Ferrand]. Mais, existe-il un moyen de démontrer qu'une propriété dépendant d'un entier $n$, est vraie pour tout $n\in\N$ sans passer par la calculatrice? 1. 2. Étude d'un exemple Exercice résolu 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, « $4^n +5$ est un multiple de $3$ ».
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