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Chers spectateurs, chères spectatrices, Des éléments indépendants de notre volonté nous empêchent d'ouvrir nos portes au public au mois de septembre prochain. Nous vous tiendrons bien évidemment informés de la reprise. Nous avons hâte de vous retrouver pour toujours plus de théâtre à vous proposer! Bel été à toutes et tous, L'équipe de La Scène Parisienne

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On a alors pour $n\geq0$ la relation suivante $$S_{n+1} = S_n + X_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}X_k. $$ On peut rapprocher $(S_n)$ du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale. En effet, soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires de loi de Bernoulli de paramètre $p$ représentant par exemple les lancers successifs et indépendants d'une pièce (équilibrée ou non). On définit alors $F = \text{"obtenir face"}$ et $P=\text{"obtenir pile"}$, l'univers à l'instant $n$ est donc $\{F, P\}^n=\{0, 1\}^n$ et on a \begin{equation} \tag{$\star$} \label{etoile} X_k = 2Y_k-1=\left\{ \begin{array}{rl} +1 & \text{si} Y_k = 1 \\ -1 & \text{si} Y_k= 0 \end{array}\right.. \end{equation} Comme $T_n=\sum_{k=1}^n Y_k$ est la variable aléatoire représentant le nombre de succès après $n$ répétitions du lancer de pièce, $T_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. La relation ($\star$) implique que la loi position $S_n= 2T_n-n$ est fortement liée à la loi binomiale. Comme $\dfrac{T_n}{n}$ est la moyenne empirique de la suite $(X_k)$, la loi faible des grands nombres pour le schéma de Bernoulli assure que $$\forall \varepsilon >0, \ \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\Big(\Big|\frac{T_n}{n}-p\Big|\geq\varepsilon\Big)=0$$ ce qui se dit $\dfrac{T_n}{n}$ converge en probabilité vers $p$.

Wed, 31 Jul 2024 10:14:12 +0000