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A long terme, combien le lac comptera-t-il de poissons? Voir la solution Les mots "A long terme" signifient que l'on doit calculer la limite de $(u_n)$. $0<0, 5<1$ donc $\lim 0, 5^n=0$. Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0, 5^n=0$. Par somme avec $2500$, $\lim 2500-1000\times 0, 5^n=2500$. Limite suite géométrique. Par conséquent, à long terme, le lac comptera 2500 poissons. Niveau moyen Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$. Voir la solution Ici, il est nécessaire de transformer l'expression de $u_n$ afin de pouvoir appliquer les règles de calcul de limite. $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n\times 3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times \frac{1}{3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3^1 \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3 \\ \qquad =\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3$ Comme $0<\frac{2}{3}<1$ alors $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$. Par produit par 3, on peut conclure que $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3=0$ ou encore, $\lim u_n=0$.
Autrement dit, pour obtenir u n: en partant de u 0, on multiplie n fois par la raison q. en partant de u p (lorsque p ≤ n), on multiplie ( n – p) fois par la raison q. Soit une suite géométrique de raison 0, 3 et de premier terme u 0 = 7. On veut calculer u 4. u 4 = 7 × 0, 3 4 = 7 × 0, 0081 = 0, 0567. Et si, connaissant u 4, on veut calculer u 7: u n = q n–p u p u 7 = 0, 3 7–4 × 0, 0567 u 7 = 0, 3 3 × u 7 = 0, 0015309 c. Sens de variation d'une suite géométrique Propriété géométrique de premier terme et de raison q strictement positifs. Si 0 < q < 1, alors la suite est décroissante. Si q > 1, alors la suite est croissante. 2. Comportement de q^n lorsque n tend vers +∞ a. Lien avec les fonctions du type q^x Une suite géométrique étant de terme général u n = u 0 q n, on peut l'écrire sous la forme u n = f ( n) où f est la fonction f: x ↦ u 0 q x. Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés. Calculer la limite d’une suite géométrique - Mathématiques.club. Exemples Soit n un nombre entier naturel.
On considère la suite ( u n) définie par u n = 3 n. On a u 0 = 1; u 1 = 3; u 2 = 9; u 3 = 27; … On considère maintenant la suite géométrique ( u n) définie par u n = 0, 2 n. Ainsi, u 0 = 1; u 1 = 0, 2; u 2 = 0, 04; u 3 = 0, 008; … b. Fonctions du type q^x, avec q un nombre réel strictement positif Les représentations graphiques des fonctions définies sur par f ( x) = q x sont résumées dans le graphique suivant. c. Comportement de q^n lorsque n tend vers +∞ D'après le graphique précédent, on peut admettre les propriétés suivantes. Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier naturel. > 1, alors q n = +∞. = 1, 1. Si 0 < q < 1, alors q n = 0. 3. Modéliser avec une suite a. Placement à intérêts composés Situation Une personne place la somme de 10 000 € sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3% par an. Suites géométriques. Cela signifie que, chaque année, 3% du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note u n le montant du placement au bout de n années.
Objectifs Rappeler les propriétés d'une suite géométrique. Observer le comportement de q n lorsque n tend vers +∞. Modéliser un phénomène par une suite géométrique. 1. Rappels a. Suites géométriques Soit ( u n) une suite, définie pour tout n entier naturel, et q un nombre réel. On dit que la suite ( u n) est une suite géométrique de raison q si u n +1 = qu n. Autrement dit, dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q. Exemple La suite définie par u n +1 = 2 u n avec u 0 = 1 est une suite géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1; 2; 4; 8; 16; … b. Formulaire sur les suites géométriques Soit ( u n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0, définie pour tout n entier naturel. Propriétés u n = u 0 × q n ou u n = u p × q n – p u 0 est le premier terme de la suite. u n est le terme de rang n. u p est le terme de rang p. p est un nombre entier naturel. Limite d'une suite géométrique. - Kiffelesmaths. n est un q est un nombre réel.
Ce que nous allons voir: Tu vas apprendre à déterminer la limite d'une suite géométrique qui s'écrit. Voici le théorème à connaitre que je t'explique en détails dans cette vidéo. Limite de suite géométrique exercice corrigé. Tu vas pouvoir bien assimiler ce théorème en faisant les exercices que je te propose plus bas. Ce que nous allons voir: Voici quelques techniques à connaitre pour calculer rapidement la limite d'une suite géométrique écrite sous la forme Niveau de cet exercice: Niveau de cet exercice: Énoncé Déterminer la limite éventuelle de chaque suite dont le terme général est: Niveau de cet exercice: Niveau de cet exercice: Énoncé Soit la suite définie pour tout entier naturel par: et Calculer la somme en fonction de. Montrer que la suite converge vers une limite que l'on déterminera. Niveau de cet exercice: