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nécessaire]. Durant la première, sa définition était le « nombre sans son signe » ou la « distance à partir de zéro ». Cette définition était implicite, car il n'y avait pas eu de définition formelle. Dans la deuxième étape, la valeur absolue était devenue une fonction, souvent utilisée dans le calcul d'erreurs. Un sens plus exact des applications de la valeur absolue à cette époque était « prendre positivement » un nombre ou « faire abstraction des signes ». La troisième étape a découlé de la compréhension du nombre en tant que concept abstrait. La valeur absolue devint un concept spécifique défini pour chaque nombre, en plus de la méthode pour mesurer des nombres complexes. En 1821, Cauchy popularise son utilisation dans l'analyse formelle. À ce moment, il manquait une notation. La quatrième et dernière étape découle de sa propre formalisation. Primitive valeur absolue 2. Ceci était nécessaire pour l'évolution de l' analyse complexe. Napier aurait utilisé les valeurs absolues dans l'élaboration des tables logarithmiques, alors que Descartes et Newton les auraient utilisées pour une théorie générale des équations polynomiales.
Cet article porte sur la généralisation du concept de base. Pour le concept de base, voir Valeur absolue. Pour d'autres utilisations, voir Valeur absolue (homonymie). En algèbre, une valeur absolue (également appelée évaluation, grandeur ou norme, bien que « norme » se réfère généralement à un type spécifique de valeur absolue sur un champ) est une fonction qui mesure la «taille» des éléments dans un champ ou une intégrale domaine. Plus précisément, si D est un domaine intégral, alors une valeur absolue est toute application | x | de D aux nombres réels R satisfaisant: • (non-négativité) si et seulement si ( définition positive) (multiplicativité) ( inégalité triangulaire) Il résulte de ces axiomes que | 1 | = 1 et | -1 | = 1. De plus, pour tout entier positif n, | n | = | 1 + 1 +... + 1 ( n fois) | = | −1 - 1 -... Primitive valeur absolue rose. - 1 ( n fois) | ≤ n. La " valeur absolue " classique est celle dans laquelle, par exemple, | 2 | = 2, mais de nombreuses autres fonctions remplissent les conditions énoncées ci-dessus, par exemple la racine carrée de la valeur absolue classique (mais pas son carré).
Une valeur absolue induit une métrique (et donc une topologie) par Exemples La valeur absolue standard sur les entiers. La valeur absolue standard sur les nombres complexes. La valeur absolue p -adique sur les nombres rationnels. Si R est le champ de fonctions rationnelles sur un champ F et est un élément fixe irréductible de R, alors ce qui suit définit une valeur absolue sur R: car dans R définissent être, où et Types de valeur absolue La valeur absolue triviale est la valeur absolue avec | x | = 0 lorsque x = 0 et | x | = 1 sinon. Chaque domaine intégral peut porter au moins la valeur absolue triviale. Primitive valeur absolue en. La valeur triviale est la seule valeur absolue possible sur un corps fini car tout élément non nul peut être élevé à une certaine puissance pour donner 1. Si une valeur absolue satisfait la propriété la plus forte | x + y | ≤ max (| x |, | y |) pour tout x et y, alors | x | est appelée valeur absolue ultramétrique ou non archimédienne, et sinon valeur absolue archimédienne. Des endroits Si | x | 1 et | x | 2 sont deux valeurs absolues sur le même domaine intégral D, alors les deux valeurs absolues sont équivalentes si | x | 1 <1 si et seulement si | x | 2 <1 pour tout x.