Calculer la limite d'une suite géométrique est simple si on connaît un certain nombre d'éléments qui influent sur la valeur finale. La valeur de la raison a un rôle plus que significatif, complété par le signe du premier terme éventuellement. Explications! La limite d'une suite géométrique dépend de la valeur de la raison
Si vous vous souvenez des formules sur les suites géométriques, vous savez donc que l' expression Un en fonction de n est: $U_n=U_0\times q^n$ Il apparaît donc évident que pour calculer la limite d'une suite géométrique lorsque n tend vers l'infini, il faut connaître la valeur de la raison q. On distingue donc plusieurs cas: Lorsque -11: Dans le cas où q>1, on a: $\lim_{n\to +\infty} q^n=+\infty$ Le signe de $U_0$ détermine donc la limite de la suite géométrique: Si $U_0>0$ alors $\lim_{n\to +\infty} U_0\times q^n=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} U_n=+\infty$ Par contre, si $U_0<0$ alors $\lim_{n\to +\infty} U_0\times q^n=-\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} U_n=-\infty$ Dans le cas où la valeur de la raison est strictement supérieure à 1, la suite (Un) tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
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Soutien maths - Convergence des suites
Cours maths Terminale S
Dans ce module consacré à l'étude de la convergence d'une suite, on commence par redéfinir rigoureusement la notion de limite finie d'une suite. Ensuite, les théorèmes de convergence monotone et le théorème des gendarmes; Le cours se termine par la révision
et la démonstration des résultats de convergence. 1/ Limite finie d'une suite: définition
Définition:
La suite ( u n) admet le réel pour limite si: Tout intervalle] a; b [ contenant, contient
tous les termes de la suite
à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente. Remarque:
Une suite n'admettant de limite qu'en, on pourra simplifier la notation en: lim un. On a donc ( u n) converge vers ⇔ lim un avec
nombre réel fini. « fini » signifie que cette limite ne vaut ni, ni Une suite qui ne converge pas est dite
divergente
1. 1 / Limite finie d'une suite: propriétés
Etudier la convergence d'une suite, c'est donc chercher sa limite et déterminer en fonction du résultat si la suite converge ou diverge.
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Soit une suite géométrique de raison. Si, la suite est divergente. ROC: si, alors:
Démonstration. Puisque est un réel, on peut écrire:. Ainsi, montrons par récurrence que: (inégalité de Bernoulli). Notons la propriété:. Initialisation: montrons que la proposition est vérifiée au rang 0. On a bien:. La proposition est vraie au rang 0. Hérédité: supposons qu'il existe un entier tel que soit vraie. Démontrons que est vraie, c'est-à-dire:. On a, par hypothèse de
récurrence:. Ainsi:
Donc:. Il est évident que, ainsi:. La proposition est vérifiée au rang. Conclusion: la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir de 0, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel. On rappelle que:. Ainsi:. Or. Donc d'après le théorème de minoration:
C'est la cas notamment pour une suite définie par récurrence, cas que nous étudierons dans la suite de ce module. Si ( u n) est croissante et majorée par exemple par 2 alors ( u n) converge mais ne converge pas forcément vers 2. Les théorèmes suivants vont cependant nous permettre d'avoir des renseignements sur la localisation de la limite:
Soit ( u n) une suite de nombres réels convergente. Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang:
u n
M
alors: lim
un M
Il est à noter que même si tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à M, la limite de la suite peut, elle, être égale à M. En effet, si par exemple: alors, pour tout n non nul:
u n or: lim u n=0
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: u n > m
alors: lim un m
et conséquence des deux théorèmes:
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: m un M
alors: m lim un M
Ces résultats sont en particuliers utiles dans la recherche de la limite L d'une suite définie par récurrence, et souvent nécessaires pour savoir si l'on peut appliquer le théorème donnant f (L)=L.