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Si $A_1, \dots, A_n$ sont des événements mutuellement indépendants, et si pour chaque $i\in\{1, \dots, n\}$, on pose $B_i=A_i$ ou $B_i=\bar A_i$, alors les événements $B_1, \dots, B_n$ sont mutuellement indépendants. Probabilités conditionnelles Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(B)>0$. On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ le réel $$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$ Si $B$ est un événement tel que $P(B)>0$, alors $P_B$ est une probabilité sur $\Omega$. Formule des probabilités composées: Soit $A_1, \dots, A_m$ des événements tels que $P(A_1\cap\dots\cap A_{m-1})\neq 0$. Alors: $$P(A_1\cap\dots\cap A_m)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_m|A_1\cap \dots\cap A_{m-1}). $$ Formule des probabilités totales: Soit $A_1, \dots, A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Cours probabilité cap plus. Alors: $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i). $$ Formule de Bayes pour deux événements: Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilité non nulle, alors $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}.
Document accompagné d'une fiche produit qui détaille le déroulement de la séance. Auteur: Anne (... ) CCF "étude de moyens de transport" (statistiques) 20 janvier 2011 Le but de ce CCF en mathématiques CAP est d'étudier les statistiques, la proportionnalité, les équations et le repérage au travers d'une étude sur les moyens de locomotion des élèves. Auteur: C. GERY
80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme. On choisit un élève au hasard et on note: G G: l'événement « l'élève choisi est un garçon »; F F: l'événement « l'élève choisie est une fille »; B B: l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ». On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous: Le premier niveau indique le genre de l'élève ( G G ou F F) et le second indique l'obtention du diplôme ( B B ou B ‾ \overline{B}). On inscrit les probabilités sur chacune des branches. La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud est toujours égale à 1. 3. Probabilités conditionnelles Soit A et B deux événements tels que p ( A) ≠ 0 p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de B sachant A est le nombre: p A ( B) = p ( A ∩ B) p ( A). Cours probabilité cap 1. p_{A}\left(B\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}. On peut aussi noter cette probabilité p ( B / A) p\left(B/A\right). On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité): p E 2 ( E 1) = p ( E 1 ∩ E 2) p ( E 2) = 1 3. p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\frac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\frac{1}{3}.
A n A_{n} forment une partition de Ω \Omega, pour tout événement B B, on a: p ( B) = p ( A 1 ∩ B) + p ( A 2 ∩ B) + ⋯ p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots + p ( A n ∩ B). +p\left(A_{n} \cap B\right). Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles: p ( B) = p ( A 1) × p A 1 ( B) p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1}}\left(B\right) + p ( A 2) × p A 2 ( B) + ⋯ +p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots + p ( A n) × p A n ( B) +p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right). Résumé de cours : Probabilités sur un univers fini. En utilisant la partition { A, A ‾} \left\{A, \overline{A}\right\}, quels que soient les événements A A et B B: p ( B) = p ( A ∩ B) + p ( A ‾ ∩ B) p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right) p ( B) = p ( A) × p A ( B) + p ( A ‾) × p A ‾ ( B) p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right). À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante: « La probabilité de l'événement B B est égale à la somme des probabilités des trajets menant à B B ».
$$ Formule de Bayes pour $n$ événements: Soit $A_1, \dots, A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Alors, pour tout $j\in\{1, \dots, n\}$, on a $$P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}. $$